נושא 6: שיווי משקל בתחרות משוכללת
כלכלה א – מיקרו כלכלה | המרכז האקדמי פרס
מהו שיווי משקל שוק?
שיווי משקל (Equilibrium) הוא המצב בו הכמות המבוקשת שווה לכמות המוצעת — כלומר, אין עודף ביקוש ואין עודף היצע.
תנאי שיווי משקל
$$Q_D = Q_S$$
או, באופן שקול, המחיר שבו פונקציית הביקוש שווה לפונקציית ההיצע:
$$P_D = P_S$$
שלבי פתרון
- רשום את פונקציית הביקוש: $Q_D = f(P)$ או $P = g(Q)$
- רשום את פונקציית ההיצע: $Q_S = h(P)$ או $P = k(Q)$
- השווה: $Q_D = Q_S$ ופתור עבור $P^*$ (מחיר שיווי המשקל)
- הצב $P^*$ בכל אחת מהפונקציות כדי למצוא $Q^*$ (כמות שיווי המשקל)
עודף צרכן (Consumer Surplus)
עודף צרכן הוא ההפרש בין מה שהצרכנים מוכנים לשלם לבין מה שהם משלמים בפועל.
$$CS = \frac{1}{2} \times Q^* \times (P_{max} - P^*)$$
כאשר:
- $P_{max}$ — המחיר המקסימלי (חיתוך פונקציית הביקוש עם ציר המחירים)
- $P^*$ — מחיר שיווי המשקל
- $Q^*$ — כמות שיווי המשקל
הסבר גרפי: עודף הצרכן הוא השטח של המשולש שמתחת לעקומת הביקוש ומעל קו המחיר, עד לנקודת שיווי המשקל.
עודף יצרן (Producer Surplus)
עודף יצרן הוא ההפרש בין המחיר שהיצרנים מקבלים בפועל לבין המחיר המינימלי שבו היו מוכנים למכור.
$$PS = \frac{1}{2} \times Q^* \times (P^* - P_{min})$$
כאשר:
- $P_{min}$ — המחיר המינימלי (חיתוך פונקציית ההיצע עם ציר המחירים)
- $P^*$ — מחיר שיווי המשקל
עודף כולל ורווחה חברתית
העודף הכולל (Total Surplus) מייצג את הרווחה החברתית הכוללת:
$$TS = CS + PS$$
עיקרון חשוב: בשיווי משקל תחרותי, העודף הכולל מקסימלי. כל סטייה משיווי המשקל (כגון התערבות ממשלתית) עלולה ליצור הפסד תמורתי (Deadweight Loss — DWL).
הפסד תמורתי (Deadweight Loss)
הפסד תמורתי נוצר כאשר השוק אינו מגיע לשיווי משקל — כלומר הכמות הנסחרת שונה מכמות שיווי המשקל.
$$DWL = \frac{1}{2} \times |Q^* - Q_{actual}| \times |P_D(Q_{actual}) - P_S(Q_{actual})|$$
הסיבות העיקריות ל-DWL:
- מיסוי
- סבסוד
- רצפת מחיר / תקרת מחיר
- מונופול
דוגמה מפורטת 1: שוק הדבש הטהור
נתונים
- פונקציית ביקוש: $P_D = 280 - 0.2Q$
- פונקציית היצע: $P_S = 80 + 0.3Q$
שלב 1: מציאת שיווי משקל
נשווה $P_D = P_S$:
$$280 - 0.2Q = 80 + 0.3Q$$
$$280 - 80 = 0.3Q + 0.2Q$$
$$200 = 0.5Q$$
$$Q^* = 400 \text{ יחידות}$$
נציב בפונקציית הביקוש:
$$P^* = 280 - 0.2 \times 400 = 280 - 80 = 200 \text{ ש"ח}$$
שלב 2: חישוב עודף צרכן
$$P_{max} = 280 \quad (\text{כשמציבים } Q = 0 \text{ בפונקציית הביקוש})$$
$$CS = \frac{1}{2} \times 400 \times (280 - 200) = \frac{1}{2} \times 400 \times 80 = 16{,}000 \text{ ש"ח}$$
שלב 3: חישוב עודף יצרן
$$P_{min} = 80 \quad (\text{כשמציבים } Q = 0 \text{ בפונקציית ההיצע})$$
$$PS = \frac{1}{2} \times 400 \times (200 - 80) = \frac{1}{2} \times 400 \times 120 = 24{,}000 \text{ ש"ח}$$
שלב 4: עודף כולל
$$TS = CS + PS = 16{,}000 + 24{,}000 = 40{,}000 \text{ ש"ח}$$
דוגמה מפורטת 2: שוק השוקולד
נתונים
- פונקציית ביקוש: $Q_D = 1{,}000 - 2P$
- פונקציית היצע: $Q_S = -200 + 4P$
שלב 1: שיווי משקל
$$1{,}000 - 2P = -200 + 4P$$
$$1{,}200 = 6P$$
$$P^* = 200 \text{ ש"ח}$$
$$Q^* = 1{,}000 - 2(200) = 600 \text{ יחידות}$$
שלב 2: עודף צרכן
נמצא את $P_{max}$ — נציב $Q = 0$ בפונקציית הביקוש ההפוכה:
$$Q_D = 1{,}000 - 2P \Rightarrow P = 500 - 0.5Q$$
$$P_{max} = 500$$
$$CS = \frac{1}{2} \times 600 \times (500 - 200) = \frac{1}{2} \times 600 \times 300 = 90{,}000 \text{ ש"ח}$$
שלב 3: עודף יצרן
נמצא את $P_{min}$:
$$Q_S = -200 + 4P \Rightarrow P = 50 + 0.25Q$$
$$P_{min} = 50$$
$$PS = \frac{1}{2} \times 600 \times (200 - 50) = \frac{1}{2} \times 600 \times 150 = 45{,}000 \text{ ש"ח}$$
שלב 4: עודף כולל
$$TS = 90{,}000 + 45{,}000 = 135{,}000 \text{ ש"ח}$$
עודף ביקוש ועודף היצע
עודף ביקוש (מחסור)
כאשר $P < P^*$:
$$\text{עודף ביקוש} = Q_D(P) - Q_S(P) > 0$$
במצב זה לחץ כלפי מעלה על המחיר.
עודף היצע (עודף)
כאשר $P > P^*$:
$$\text{עודף היצע} = Q_S(P) - Q_D(P) > 0$$
במצב זה לחץ כלפי מטה על המחיר.
שאלות תרגול
שאלה 1
בשוק מסוים ידועות הפונקציות הבאות:
- ביקוש: $P = 120 - 0.5Q$
- היצע: $P = 20 + 0.5Q$
א. מצא/י את מחיר וכמות שיווי המשקל.
ב. חשב/י את עודף הצרכן ואת עודף היצרן.
ג. מהו העודף הכולל?
שאלה 2
בשוק הדבש הטהור, נתון:
- ביקוש: $Q_D = 600 - 3P$
- היצע: $Q_S = -100 + 2P$
א. מצא/י את שיווי המשקל.
ב. אם המחיר נקבע על ₪100, האם ייווצר עודף ביקוש או עודף היצע? מהו גודלו?
ג. חשב/י CS, PS ו-TS.
שאלה 3
בשוק השוקולד:
- ביקוש: $P = 400 - Q$
- היצע: $P = 100 + 0.5Q$
א. מצא/י את שיווי המשקל.
ב. חשב/י את העודפים.
ג. אם הכמות הנסחרת מוגבלת ל-150 יחידות, מהו ה-DWL?
פתרונות מקוצרים
שאלה 1
א. $120 - 0.5Q = 20 + 0.5Q \Rightarrow Q^* = 100, \; P^* = 70$
ב. $CS = \frac{1}{2}(100)(120-70) = 2{,}500$; $PS = \frac{1}{2}(100)(70-20) = 2{,}500$
ג. $TS = 5{,}000$
שאלה 2
א. $600 - 3P = -100 + 2P \Rightarrow P^* = 140, \; Q^* = 180$
ב. ב-$P=100$: $Q_D = 300, \; Q_S = 100$ → עודף ביקוש של 200 יחידות
ג. $P_{max} = 200, \; P_{min} = 50$; $CS = \frac{1}{2}(180)(200-140) = 5{,}400$; $PS = \frac{1}{2}(180)(140-50) = 8{,}100$; $TS = 13{,}500$
שאלה 3
א. $400 - Q = 100 + 0.5Q \Rightarrow Q^* = 200, \; P^* = 200$
ב. $CS = \frac{1}{2}(200)(400-200) = 20{,}000$; $PS = \frac{1}{2}(200)(200-100) = 10{,}000$; $TS = 30{,}000$
ג. ב-$Q = 150$: $P_D = 250, \; P_S = 175$; $DWL = \frac{1}{2}(200-150)(250-175) = \frac{1}{2}(50)(75) = 1{,}875$
טיפ למבחן: תמיד בדקו את התוצאה — הציבו את $P^*$ בשתי הפונקציות ווודאו שמתקבלת אותה $Q^*$. בנוסף, שרטוט גרף מהיר יעזור לזהות טעויות.