נושא 2: פונקציית הייצור (Production Function)
כלכלה א – מיקרו כלכלה | המרכז האקדמי פרס
הגדרת פונקציית הייצור
פונקציית הייצור מתארת את הקשר הטכנולוגי בין כמות גורמי הייצור (תשומות) לבין כמות התוצר (תפוקה). בטווח הקצר, אנו מניחים שגורם ייצור אחד לפחות הוא קבוע (למשל: הון, קרקע) ורק גורם אחד הוא משתנה (בדרך כלל: עבודה).
$$Q = f(L, \bar{K})$$
כאשר:
- $Q$ = כמות התוצר (Total Product)
- $L$ = כמות העבודה (גורם משתנה)
- $\bar{K}$ = כמות ההון (גורם קבוע בטווח הקצר)
תוצר כולל (Total Product — TP)
התוצר הכולל הוא סך כל התפוקה המיוצרת כפונקציה של כמות העובדים. ככל שמוסיפים עובדים, התוצר הכולל עולה — אך בקצב שהולך ופוחת (בשל חוק התפוקה השולית הפוחתת).
מאפייני עקומת TP
- בהתחלה: עלייה בקצב עולה (תפוקה שולית עולה)
- לאחר מכן: עלייה בקצב יורד (תפוקה שולית פוחתת)
- בנקודה מסוימת: TP מגיע למקסימום (כאשר $MP = 0$)
- לאחר מכן: TP יורד (כאשר $MP < 0$)
תפוקה שולית (Marginal Product — MP)
התפוקה השולית מודדת את התוספת לתוצר הכולל כתוצאה מהוספת יחידה אחת נוספת של גורם הייצור המשתנה (עובד נוסף).
נוסחה
$$MP = \frac{\Delta Q}{\Delta L}$$
כאשר:
- $\Delta Q$ = השינוי בתוצר הכולל
- $\Delta L$ = השינוי בכמות העובדים (בדרך כלל = 1)
חוק התפוקה השולית הפוחתת (Law of Diminishing Marginal Returns)
ככל שמוסיפים יחידות נוספות של גורם ייצור משתנה (עבודה) בעוד שאר גורמי הייצור קבועים (הון), התפוקה השולית של הגורם המשתנה תלך ותפחת מנקודה מסוימת והלאה.
הסיבה: כשיש יותר מדי עובדים ביחס לציוד הקבוע, הם מפריעים זה לזה, ממתינים בתור למכונות, ויש צפיפות.
ערך התפוקה השולית (Value of Marginal Product — VMP)
ערך התפוקה השולית מבטא את הערך הכספי שעובד נוסף מוסיף לפירמה.
נוסחה
$$VMP = MP \times P$$
כאשר:
- $MP$ = התפוקה השולית של העובד
- $P$ = מחיר המוצר בשוק
כלל ההעסקה האופטימלי
הפירמה תעסיק עובדים כל עוד:
$$VMP \geq W$$
כאשר $W$ = השכר לעובד.
ההיגיון הכלכלי
- אם $VMP > W$ — העובד הנוסף מרוויח לפירמה יותר מעלותו. כדאי להעסיק.
- אם $VMP = W$ — העובד הנוסף מוסיף בדיוק כמו עלותו. נקודת האופטימום.
- אם $VMP < W$ — העובד הנוסף עולה יותר ממה שהוא מייצר. לא כדאי להעסיק.
טבלת ייצור — דוגמה מעובדת
נתון: מחיר המוצר $P = 20$ ש"ח, שכר עובד $W = 120$ ש"ח.
| עובדים (L) | תוצר כולל (Q) | $MP = \frac{\Delta Q}{\Delta L}$ | $VMP = MP \times 20$ | החלטה |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | — | — | — |
| 1 | 10 | 10 | 200 | $200 > 120$ → להעסיק |
| 2 | 22 | 12 | 240 | $240 > 120$ → להעסיק |
| 3 | 32 | 10 | 200 | $200 > 120$ → להעסיק |
| 4 | 40 | 8 | 160 | $160 > 120$ → להעסיק |
| 5 | 46 | 6 | 120 | $120 = 120$ → להעסיק |
| 6 | 50 | 4 | 80 | $80 < 120$ → לא להעסיק |
| 7 | 52 | 2 | 40 | $40 < 120$ → לא להעסיק |
מסקנה
הפירמה תעסיק 5 עובדים. העובד החמישי מוסיף $VMP = 120$ שווה בדיוק לשכר. העובד השישי מוסיף רק 80 ש"ח — פחות מהשכר.
ניתוח גרפי
גרף התוצר הכולל (TP)
- ציר X: כמות העובדים (L)
- ציר Y: כמות התוצר (Q)
- העקומה עולה בקצב יורד ומגיעה למקסימום
גרף התפוקה השולית (MP)
- ציר X: כמות העובדים (L)
- ציר Y: תפוקה שולית (MP)
- העקומה יורדת (בשל חוק התפוקה השולית הפוחתת)
- חוצה את ציר ה-X כאשר TP מגיע למקסימום
גרף VMP וכלל ההעסקה
- ציר X: כמות העובדים (L)
- ציר Y: VMP ו-W (ש"ח)
- קו אופקי $W$ מייצג את השכר
- עקומת $VMP$ יורדת
- נקודת החיתוך ($VMP = W$) קובעת את כמות העובדים האופטימלית
השפעת שינויים על החלטת ההעסקה
עליית מחיר המוצר ($P$ עולה)
- $VMP$ עולה לכל כמות עובדים
- הפירמה תעסיק יותר עובדים
עליית השכר ($W$ עולה)
- הרף הנדרש מ-VMP עולה
- הפירמה תעסיק פחות עובדים
שיפור טכנולוגי
- $MP$ עולה → $VMP$ עולה
- הפירמה תעסיק יותר עובדים
תרגילים
תרגיל 1 — חישוב מספר עובדים אופטימלי
נתונים: $P = 30$ ש"ח, $W = 150$ ש"ח.
| L | Q |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 8 |
| 2 | 18 |
| 3 | 26 |
| 4 | 32 |
| 5 | 36 |
| 6 | 38 |
א. חשבו את $MP$ ו-$VMP$ לכל עובד.
ב. כמה עובדים תעסיק הפירמה?
פתרון:
| L | Q | MP | VMP = MP × 30 |
|---|---|---|---|
| 1 | 8 | 8 | 240 |
| 2 | 18 | 10 | 300 |
| 3 | 26 | 8 | 240 |
| 4 | 32 | 6 | 180 |
| 5 | 36 | 4 | 120 |
| 6 | 38 | 2 | 60 |
הפירמה תעסיק 4 עובדים (כי $VMP_4 = 180 > 150 = W$ אבל $VMP_5 = 120 < 150 = W$).
תרגיל 2 — רב-ברירתי
פירמה מעסיקה 10 עובדים. התפוקה השולית של העובד ה-11 היא 5 יחידות, מחיר המוצר 40 ש"ח, והשכר 180 ש"ח. מה צריכה הפירמה לעשות?
א. להעסיק את העובד ה-11
ב. לפטר עובד
ג. להישאר עם 10 עובדים
ד. אי אפשר לדעת
תשובה: א. $VMP_{11} = 5 \times 40 = 200 > 180 = W$. כדאי להעסיק את העובד ה-11.
תרגיל 3 — שינוי שכר
חזרו לטבלה מהדוגמה המעובדת ($P = 20$). אם השכר עולה מ-$W = 120$ ל-$W = 180$, כמה עובדים תעסיק הפירמה כעת?
פתרון: הפירמה תעסיק עובדים כל עוד $VMP \geq 180$:
- $VMP_1 = 200 > 180$ ✓
- $VMP_2 = 240 > 180$ ✓
- $VMP_3 = 200 > 180$ ✓
- $VMP_4 = 160 < 180$ ✗
הפירמה תעסיק 3 עובדים (במקום 5). עליית השכר הפחיתה את הביקוש לעבודה.
תרגיל 4 — רב-ברירתי
חוק התפוקה השולית הפוחתת קובע כי:
א. התוצר הכולל תמיד יורד
ב. התפוקה השולית שלילית מהעובד הראשון
ג. מנקודה מסוימת, כל עובד נוסף מוסיף פחות תוצר מקודמו
ד. השכר של העובדים יורד ככל שיש יותר עובדים
תשובה: ג. החוק מתייחס לירידה ב-MP, לא ב-TP. התוצר הכולל ממשיך לעלות (אך בקצב יורד) כל עוד $MP > 0$.