נושא 4: נגזרות – כללי גזירה
מתמטיקה למנהל עסקים | המרכז האקדמי פרס
מבוא לנגזרות
הנגזרת של פונקציה מתארת את קצב השינוי של הפונקציה בנקודה נתונה. בפרק זה נלמד את כללי הגזירה הבסיסיים ונתרגל אותם על פונקציות מורכבות.
כלל החזקה
כלל החזקה הוא הכלל הבסיסי ביותר בגזירה:
$$\frac{d}{dx}[x^n] = n \cdot x^{n-1}$$
כאשר $n$ הוא מספר ממשי כלשהו.
דוגמאות בסיסיות
| פונקציה | נגזרת | הסבר |
|---|---|---|
| $f(x) = x^5$ | $f'(x) = 5x^4$ | הורדנו את החזקה $5$ כמקדם והפחתנו $1$ מהחזקה |
| $f(x) = x^{-3}$ | $f'(x) = -3x^{-4}$ | הכלל עובד גם עבור חזקות שליליות |
| $f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$ | $f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ | שורש הוא חזקה של $\frac{1}{2}$ |
| $f(x) = 3x^7$ | $f'(x) = 21x^6$ | קבוע כפלי נשאר כפי שהוא |
כללים נוספים חשובים
- נגזרת של קבוע: $\frac{d}{dx}[c] = 0$
- נגזרת של סכום/הפרש: $(f \pm g)' = f' \pm g'$
- נגזרת של קבוע כפול פונקציה: $(c \cdot f)' = c \cdot f'$
נגזרת פונקציה מעריכית
הפונקציה המעריכית $e^x$ היא ייחודית – הנגזרת שלה שווה לעצמה:
$$\frac{d}{dx}[e^x] = e^x$$
כאשר מופיעה פונקציה פנימית, נשתמש בכלל השרשרת:
$$\frac{d}{dx}[e^{f(x)}] = e^{f(x)} \cdot f'(x)$$
דוגמאות
| פונקציה | נגזרת | הסבר |
|---|---|---|
| $y = e^{3x}$ | $y' = 3e^{3x}$ | הפונקציה הפנימית $f(x)=3x$, לכן $f'(x)=3$ |
| $y = e^{x^2}$ | $y' = 2x \cdot e^{x^2}$ | הפונקציה הפנימית $f(x)=x^2$, לכן $f'(x)=2x$ |
| $y = e^{-5x+1}$ | $y' = -5e^{-5x+1}$ | הפונקציה הפנימית $f(x)=-5x+1$, לכן $f'(x)=-5$ |
כלל המכפלה (Product Rule)
כאשר גוזרים מכפלה של שתי פונקציות:
$$\boxed{(f \cdot g)' = f'g + fg'}$$
כלל זיכרון: "נגזרת הראשונה כפול השנייה, ועוד הראשונה כפול נגזרת השנייה."
דוגמה מהירה
נגזור $y = x^3 \cdot e^{2x}$:
$$y' = (x^3)' \cdot e^{2x} + x^3 \cdot (e^{2x})'$$
$$y' = 3x^2 \cdot e^{2x} + x^3 \cdot 2e^{2x}$$
$$y' = e^{2x}(3x^2 + 2x^3) = x^2 e^{2x}(3 + 2x)$$
כלל המנה (Quotient Rule)
כאשר גוזרים מנה (חילוק) של שתי פונקציות:
$$\boxed{\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}}$$
כלל זיכרון: "נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה, הכל חלקי המכנה בריבוע."
דוגמה מהירה
נגזור $y = \frac{x^2}{x+1}$:
$$y' = \frac{(x^2)' \cdot (x+1) - x^2 \cdot (x+1)'}{(x+1)^2}$$
$$y' = \frac{2x(x+1) - x^2 \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}$$
כלל השרשרת (Chain Rule)
כלל השרשרת משמש כאשר יש פונקציה מורכבת (פונקציה בתוך פונקציה):
$$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$
יישום על שורש
$$\frac{d}{dx}\left[\sqrt{f(x)}\right] = \frac{d}{dx}\left[f(x)^{1/2}\right] = \frac{1}{2} \cdot f(x)^{-1/2} \cdot f'(x) = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$$
דוגמה מהירה
נגזור $y = \sqrt{3x^2 + 1}$:
$$y' = \frac{(3x^2+1)'}{2\sqrt{3x^2+1}} = \frac{6x}{2\sqrt{3x^2+1}} = \frac{3x}{\sqrt{3x^2+1}}$$
טבלת נגזרות – סיכום מהיר
| פונקציה | נגזרת |
|---|---|
| $c$ (קבוע) | $0$ |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $e^{f(x)}$ | $e^{f(x)} \cdot f'(x)$ |
| $\ln(x)$ | $\frac{1}{x}$ |
| $\ln(f(x))$ | $\frac{f'(x)}{f(x)}$ |
| $\sqrt{f(x)}$ | $\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ |
| $f \cdot g$ | $f'g + fg'$ |
| $\frac{f}{g}$ | $\frac{f'g - fg'}{g^2}$ |
תרגיל מפורט 1: כלל המנה
השאלה
מצאו את הנגזרת של:
$$y = \frac{6e^{-2x} - 7x^3 + 3x^8}{4x^4 - 4x^5 - 2\sqrt{x}}$$
פתרון שלב אחרי שלב
שלב 1: זיהוי המונה והמכנה
נסמן:
- $f(x) = 6e^{-2x} - 7x^3 + 3x^8$ (מונה)
- $g(x) = 4x^4 - 4x^5 - 2x^{1/2}$ (מכנה, כאשר $\sqrt{x} = x^{1/2}$)
שלב 2: חישוב נגזרת המונה $f'(x)$
נגזור כל איבר בנפרד:
$$\frac{d}{dx}[6e^{-2x}] = 6 \cdot e^{-2x} \cdot (-2) = -12e^{-2x}$$
$$\frac{d}{dx}[-7x^3] = -21x^2$$
$$\frac{d}{dx}[3x^8] = 24x^7$$
לכן:
$$f'(x) = -12e^{-2x} - 21x^2 + 24x^7$$
שלב 3: חישוב נגזרת המכנה $g'(x)$
$$\frac{d}{dx}[4x^4] = 16x^3$$
$$\frac{d}{dx}[-4x^5] = -20x^4$$
$$\frac{d}{dx}[-2x^{1/2}] = -2 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = -x^{-1/2} = -\frac{1}{\sqrt{x}}$$
לכן:
$$g'(x) = 16x^3 - 20x^4 - \frac{1}{\sqrt{x}}$$
שלב 4: הצבה בנוסחת כלל המנה
$$y' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$$
$$y' = \frac{\left(-12e^{-2x} - 21x^2 + 24x^7\right)\left(4x^4 - 4x^5 - 2\sqrt{x}\right) - \left(6e^{-2x} - 7x^3 + 3x^8\right)\left(16x^3 - 20x^4 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)}{\left(4x^4 - 4x^5 - 2\sqrt{x}\right)^2}$$
הערה: בשאלות מסוג זה, בדרך כלל לא נדרש לפתוח את הסוגריים. מספיק להציב נכון בנוסחה ולרשום את התשובה בצורה מסודרת.
תרגיל מפורט 2: כלל המכפלה
השאלה
מצאו את הנגזרת של:
$$y = (9x^{-5} - 5x) \cdot e^{7x-3}$$
פתרון שלב אחרי שלב
שלב 1: זיהוי שתי הפונקציות
נסמן:
- $f(x) = 9x^{-5} - 5x$
- $g(x) = e^{7x-3}$
שלב 2: חישוב נגזרת $f'(x)$
$$f'(x) = 9 \cdot (-5) x^{-6} - 5 = -45x^{-6} - 5$$
ניתן לכתוב גם:
$$f'(x) = -\frac{45}{x^6} - 5$$
שלב 3: חישוב נגזרת $g'(x)$
הפונקציה הפנימית היא $7x - 3$, ונגזרתה $7$:
$$g'(x) = e^{7x-3} \cdot 7 = 7e^{7x-3}$$
שלב 4: הצבה בנוסחת כלל המכפלה
$$y' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$
$$y' = \left(-45x^{-6} - 5\right) \cdot e^{7x-3} + \left(9x^{-5} - 5x\right) \cdot 7e^{7x-3}$$
שלב 5: פישוט
נוציא גורם משותף $e^{7x-3}$:
$$y' = e^{7x-3}\left[\left(-45x^{-6} - 5\right) + 7\left(9x^{-5} - 5x\right)\right]$$
$$y' = e^{7x-3}\left[-45x^{-6} - 5 + 63x^{-5} - 35x\right]$$
$$\boxed{y' = e^{7x-3}\left(-45x^{-6} + 63x^{-5} - 35x - 5\right)}$$
תרגיל מפורט 3: כלל השרשרת + כלל המנה
השאלה
מצאו את הנגזרת של:
$$y = \sqrt{\frac{-3x^{-1} + x}{-x - 6e^x}}$$
פתרון שלב אחרי שלב
שלב 1: זיהוי המבנה – שרשרת על מנה
נרשום את הפונקציה בצורה:
$$y = \left[\frac{-3x^{-1} + x}{-x - 6e^x}\right]^{1/2}$$
נסמן את הפונקציה הפנימית:
$$u(x) = \frac{-3x^{-1} + x}{-x - 6e^x}$$
כך ש-$y = \sqrt{u} = u^{1/2}$.
שלב 2: גזירת הפונקציה החיצונית (כלל השרשרת)
$$y' = \frac{1}{2} \cdot u^{-1/2} \cdot u' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$$
שלב 3: חישוב $u'(x)$ באמצעות כלל המנה
נסמן:
- $p(x) = -3x^{-1} + x$ (מונה)
- $q(x) = -x - 6e^x$ (מכנה)
חישוב $p'(x)$:
$$p'(x) = -3 \cdot (-1) \cdot x^{-2} + 1 = 3x^{-2} + 1 = \frac{3}{x^2} + 1$$
חישוב $q'(x)$:
$$q'(x) = -1 - 6e^x$$
הצבה בכלל המנה:
$$u'(x) = \frac{p'(x) \cdot q(x) - p(x) \cdot q'(x)}{[q(x)]^2}$$
$$u'(x) = \frac{\left(\frac{3}{x^2} + 1\right)\left(-x - 6e^x\right) - \left(-\frac{3}{x} + x\right)\left(-1 - 6e^x\right)}{\left(-x - 6e^x\right)^2}$$
שלב 4: הצבה בנוסחה הסופית
$$y' = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$$
$$\boxed{y' = \frac{\left(\frac{3}{x^2} + 1\right)\left(-x - 6e^x\right) - \left(-\frac{3}{x} + x\right)\left(-1 - 6e^x\right)}{2\left(-x - 6e^x\right)^2 \cdot \sqrt{\dfrac{-3x^{-1} + x}{-x - 6e^x}}}}$$
הסבר: שימו לב שהמכנה הוא $[q(x)]^2$ מכלל המנה, כפול $2\sqrt{u}$ מכלל השרשרת. כלומר, ניתן לכתוב את המכנה כ-$2 \cdot (-x-6e^x)^2 \cdot \sqrt{\frac{-3x^{-1}+x}{-x-6e^x}}$.
תרגילים לתרגול עצמי
תרגיל 1 – כלל החזקה
מצאו את הנגזרת:
$$y = 5x^4 - 3x^{-2} + 7\sqrt{x} + 2$$
פתרון
$$y' = 20x^3 + 6x^{-3} + \frac{7}{2\sqrt{x}}$$
תרגיל 2 – נגזרת מעריכית
מצאו את הנגזרת:
$$y = 4e^{3x^2 - x}$$
פתרון
$$y' = 4e^{3x^2-x} \cdot (6x - 1) = (24x - 4)e^{3x^2-x}$$
תרגיל 3 – כלל המכפלה
מצאו את הנגזרת:
$$y = (x^2 + 3x) \cdot e^{-4x}$$
פתרון
$$y' = (2x+3) \cdot e^{-4x} + (x^2+3x) \cdot (-4)e^{-4x}$$
$$y' = e^{-4x}\left[(2x+3) - 4(x^2+3x)\right]$$
$$y' = e^{-4x}\left(-4x^2 - 10x + 3\right)$$
תרגיל 4 – כלל המנה
מצאו את הנגזרת:
$$y = \frac{x^3 - 2x}{e^{5x}}$$
פתרון
$$y' = \frac{(3x^2 - 2) \cdot e^{5x} - (x^3 - 2x) \cdot 5e^{5x}}{(e^{5x})^2}$$
$$y' = \frac{e^{5x}\left[(3x^2-2) - 5(x^3-2x)\right]}{e^{10x}}$$
$$y' = \frac{-5x^3 + 3x^2 + 10x - 2}{e^{5x}}$$
תרגיל 5 – כלל השרשרת
מצאו את הנגזרת:
$$y = \sqrt{x^4 - 8x + 5}$$
פתרון
$$y' = \frac{4x^3 - 8}{2\sqrt{x^4 - 8x + 5}} = \frac{2x^3 - 4}{\sqrt{x^4 - 8x + 5}}$$
טיפים לבחינה
- זהו את הסוג – לפני שמתחילים לגזור, זהו אם מדובר במכפלה, מנה, שרשרת או שילוב שלהם.
- סמנו $f$ ו-$g$ – רשמו בצורה ברורה מה כל פונקציה ומה הנגזרת שלה.
- אל תשכחו את כלל השרשרת – בכל פעם ש-$e$ מועלה בחזקה שהיא לא סתם $x$, צריך להכפיל בנגזרת הפנימית.
- פשטו בסוף – הוציאו גורם משותף כשאפשר, אבל אם לא נדרש – אפשר להשאיר את התשובה בצורה של הצבה בנוסחה.
- בדקו את עצמכם – הציבו ערך מספרי ובדקו שהנגזרת נותנת תוצאה הגיונית.