נושא 2: מערכות משוואות
מתמטיקה למנהל עסקים | המרכז האקדמי פרס
1. מערכות משוואות לינאריות — שני נעלמים
1.1 הגדרה
מערכת של שתי משוואות לינאריות עם שני נעלמים:
$$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$$
1.2 שיטת ההצבה
עקרון: מבודדים נעלם אחד ממשוואה אחת ומציבים במשוואה השנייה.
שלבים:
- בוחרים משוואה ומבודדים נעלם אחד (בוחרים את הנוח ביותר).
- מציבים את הביטוי שהתקבל במשוואה השנייה.
- פותרים משוואה עם נעלם אחד.
- מציבים בחזרה כדי למצוא את הנעלם השני.
1.3 שיטת החיסור (אלימינציה)
עקרון: מכפילים את המשוואות במקדמים מתאימים ומחסרים כדי לבטל נעלם אחד.
שלבים:
- מכפילים כל משוואה במספר כך שמקדם של אחד הנעלמים יהיה שווה (בערך מוחלט).
- מחברים או מחסרים את המשוואות.
- פותרים לנעלם שנותר.
- מציבים בחזרה.
2. דוגמה — מערכת לינארית (שיטת החיסור)
2.1 המערכת
$$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases}$$
2.2 פתרון
מכיוון שמקדמי $y$ הם $+2$ ו-$-2$, נחבר את המשוואות:
$$(3x + 2y) + (5x - 2y) = 12 + 4$$
$$8x = 16$$
$$x = 2$$
נציב במשוואה הראשונה:
$$3(2) + 2y = 12$$
$$6 + 2y = 12$$
$$2y = 6$$
$$y = 3$$
תשובה: $(x, y) = (2, 3)$
בדיקה: $5(2) - 2(3) = 10 - 6 = 4$ ✓
3. דוגמה — מערכת לינארית (שיטת ההצבה)
3.1 המערכת
$$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -6 \end{cases}$$
3.2 פתרון
שלב 1 — בידוד $y$ מהמשוואה הראשונה:
$$y = 7 - 2x$$
שלב 2 — הצבה במשוואה השנייה:
$$x - 3(7 - 2x) = -6$$
$$x - 21 + 6x = -6$$
$$7x = 15$$
$$x = \frac{15}{7}$$
שלב 3 — מציאת $y$:
$$y = 7 - 2 \cdot \frac{15}{7} = 7 - \frac{30}{7} = \frac{49 - 30}{7} = \frac{19}{7}$$
תשובה: $(x, y) = \left(\frac{15}{7}, \frac{19}{7}\right)$
4. סוגי פתרונות למערכת לינארית
| מצב | תנאי | פרשנות גרפית |
|---|---|---|
| פתרון יחיד | הישרים נחתכים | נקודת חיתוך אחת |
| אין פתרון | הישרים מקבילים | $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ |
| אינסוף פתרונות | הישרים חופפים | $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ |
5. מערכות לא-לינאריות — שני נעלמים
5.1 מערכת עם משוואה ריבועית
כאשר מערכת מכילה משוואה ריבועית (או עיגול, אליפסה וכו'), בדרך כלל משתמשים בשיטת ההצבה: מבודדים נעלם מהמשוואה הלינארית ומציבים במשוואה הריבועית.
6. דוגמה מפורטת — מערכת לא-לינארית
6.1 המערכת
$$\begin{cases} x^2 + 2y^2 = 37 \\ 5x - 4y = 2 \end{cases}$$
6.2 שלב 1 — בידוד $x$ מהמשוואה הלינארית
$$5x = 2 + 4y$$
$$x = \frac{2 + 4y}{5}$$
6.3 שלב 2 — הצבה במשוואה הריבועית
$$\left(\frac{2 + 4y}{5}\right)^2 + 2y^2 = 37$$
$$\frac{(2 + 4y)^2}{25} + 2y^2 = 37$$
6.4 שלב 3 — פיתוח ופישוט
נכפיל ב-$25$:
$$(2 + 4y)^2 + 50y^2 = 925$$
$$4 + 16y + 16y^2 + 50y^2 = 925$$
$$66y^2 + 16y + 4 = 925$$
$$66y^2 + 16y - 921 = 0$$
6.5 שלב 4 — פתרון המשוואה הריבועית
נשתמש בנוסחת השורשים:
$$y = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 66 \cdot (-921)}}{2 \cdot 66}$$
$$y = \frac{-16 \pm \sqrt{256 + 243144}}{132}$$
$$y = \frac{-16 \pm \sqrt{243400}}{132}$$
נבדוק: $\sqrt{243400} \approx 493.36$
נסה לפרק: $243400 = 4 \cdot 60850 = 4 \cdot 2 \cdot 30425 = 4 \cdot 2 \cdot 25 \cdot 1217$
$$\sqrt{243400} = 2 \cdot 5\sqrt{2 \cdot 1217} = 10\sqrt{2434}$$
מכיוון שזה לא יוצא "יפה", נבדוק אם יש טעות או נחשב נומרית:
$$y_1 = \frac{-16 + 493.36}{132} \approx \frac{477.36}{132} \approx 3.616$$
$$y_2 = \frac{-16 - 493.36}{132} \approx \frac{-509.36}{132} \approx -3.859$$
בדיקה עם ערכים שלמים: ננסה $y = 3$:
$$x = \frac{2 + 12}{5} = \frac{14}{5} = 2.8$$
$$x^2 + 2y^2 = 7.84 + 18 = 25.84 \neq 37$$
ננסה $y = 4$:
$$x = \frac{2 + 16}{5} = \frac{18}{5} = 3.6$$
$$x^2 + 2y^2 = 12.96 + 32 = 44.96 \neq 37$$
ננסה $y = -3$:
$$x = \frac{2 - 12}{5} = \frac{-10}{5} = -2$$
$$x^2 + 2y^2 = 4 + 18 = 22 \neq 37$$
ננסה $y = 1, x = \frac{6}{5}$:
$$\frac{36}{25} + 2 = \frac{36 + 50}{25} = \frac{86}{25} \neq 37$$
מסקנה: למערכת זו אין פתרונות שלמים "נקיים". הפתרונות הם:
$$y \approx 3.62 \Rightarrow x \approx \frac{2 + 14.47}{5} \approx 3.29$$
$$y \approx -3.86 \Rightarrow x \approx \frac{2 - 15.44}{5} \approx -2.69$$
7. דוגמה נוספת — מערכת עם עיגול וישר
7.1 המערכת
$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x + y = 7 \end{cases}$$
7.2 פתרון
שלב 1 — בידוד מהמשוואה הלינארית:
$$y = 7 - x$$
שלב 2 — הצבה במשוואת העיגול:
$$x^2 + (7-x)^2 = 25$$
$$x^2 + 49 - 14x + x^2 = 25$$
$$2x^2 - 14x + 24 = 0$$
$$x^2 - 7x + 12 = 0$$
שלב 3 — פתרון:
$$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2} = \frac{7 \pm 1}{2}$$
$$x_1 = 4, \quad x_2 = 3$$
שלב 4 — מציאת $y$:
- $x_1 = 4 \Rightarrow y_1 = 7 - 4 = 3$
- $x_2 = 3 \Rightarrow y_2 = 7 - 3 = 4$
תשובה: $(x, y) = (4, 3)$ או $(x, y) = (3, 4)$
בדיקה: $4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ ✓
8. מערכות לינאריות — שלושה נעלמים
8.1 הצורה הכללית
$$\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3 \end{cases}$$
8.2 שיטת הפתרון — אלימינציה מדורגת (גאוס)
- משתמשים בשתי משוואות כדי לבטל נעלם אחד (למשל $z$), ומקבלים משוואה חדשה.
- חוזרים עם זוג משוואות אחר כדי לבטל אותו נעלם — מקבלים משוואה חדשה שנייה.
- כעת יש מערכת של 2 משוואות עם 2 נעלמים — פותרים כרגיל.
- מציבים בחזרה כדי למצוא את הנעלם השלישי.
9. דוגמה — מערכת 3×3
9.1 המערכת
$$\begin{cases} x + y - 2z = 2 & \text{...(I)} \\ 2x - y + z = 5 & \text{...(II)} \\ 3x + 2y - z = 9 & \text{...(III)} \end{cases}$$
9.2 שלב 1 — ביטול $y$ ממשוואות (I) ו-(II)
נחבר את (I) ו-(II):
$$(x + y - 2z) + (2x - y + z) = 2 + 5$$
$$3x - z = 7 \quad \text{...(IV)}$$
9.3 שלב 2 — ביטול $y$ ממשוואות (II) ו-(III)
נכפיל את (II) ב-$2$:
$$4x - 2y + 2z = 10 \quad \text{...(II')}$$
נחבר עם (III):
$$(4x - 2y + 2z) + (3x + 2y - z) = 10 + 9$$
$$7x + z = 19 \quad \text{...(V)}$$
9.4 שלב 3 — פתרון המערכת ב-$x$ ו-$z$
מ-(IV) ו-(V):
$$\begin{cases} 3x - z = 7 \\ 7x + z = 19 \end{cases}$$
נחבר:
$$10x = 26$$
$$x = \frac{26}{10} = \frac{13}{5}$$
נציב ב-(IV):
$$3 \cdot \frac{13}{5} - z = 7$$
$$\frac{39}{5} - z = 7$$
$$z = \frac{39}{5} - \frac{35}{5} = \frac{4}{5}$$
9.5 שלב 4 — מציאת $y$
נציב ב-(I):
$$\frac{13}{5} + y - 2 \cdot \frac{4}{5} = 2$$
$$\frac{13}{5} + y - \frac{8}{5} = 2$$
$$y + 1 = 2$$
$$y = 1$$
9.6 תשובה
$$(x, y, z) = \left(\frac{13}{5},\ 1,\ \frac{4}{5}\right)$$
בדיקה במשוואה (II):
$$2 \cdot \frac{13}{5} - 1 + \frac{4}{5} = \frac{26}{5} - 1 + \frac{4}{5} = \frac{30}{5} - 1 = 6 - 1 = 5 \checkmark$$
בדיקה במשוואה (III):
$$3 \cdot \frac{13}{5} + 2 \cdot 1 - \frac{4}{5} = \frac{39}{5} + 2 - \frac{4}{5} = \frac{35}{5} + 2 = 7 + 2 = 9 \checkmark$$
10. תרגילים לתרגול
תרגיל 1 — מערכת לינארית
$$\begin{cases} 4x - 3y = 1 \\ 2x + 5y = 19 \end{cases}$$
תרגיל 2 — מערכת לא-לינארית
$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x - y = 1 \end{cases}$$
תרגיל 3 — מערכת 3×3
$$\begin{cases} 2x + y - z = 3 \\ x - y + 2z = 1 \\ 3x + 2y + z = 10 \end{cases}$$
תרגיל 4 — מערכת לא-לינארית
$$\begin{cases} xy = 6 \\ x + y = 5 \end{cases}$$
רמז: אם $x + y = S$ ו-$xy = P$, אז $x$ ו-$y$ הם שורשי המשוואה $t^2 - St + P = 0$.
11. סיכום
| שיטה | מתי להשתמש |
|---|---|
| הצבה | כשקל לבודד נעלם אחד |
| חיסור (אלימינציה) | כשהמקדמים נוחים לכפל וחיסור |
| גאוס (3×3) | מצמצמים ל-2×2 ואז ל-1×1 |
| הצבה (לא-לינארית) | מבודדים מהמשוואה הלינארית ומציבים בריבועית |