נושא 1: משוואות רציונליות ומשוואות שורשים
מתמטיקה למנהל עסקים | המרכז האקדמי פרס
1. משוואות רציונליות
1.1 הגדרה
משוואה רציונלית היא משוואה שבה המשתנה מופיע במכנה של לפחות שבר אחד. הצורה הכללית:
$$\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$$
כאשר $P(x)$ ו-$Q(x)$ הם פולינומים ו-$Q(x) \neq 0$.
1.2 שלבי הפתרון
- מציאת תחום ההגדרה — מוצאים את הערכים שבהם המכנה מתאפס ומוציאים אותם מהתחום.
- מציאת מכנה משותף — מכפילים את כל איברי המשוואה במכנה המשותף.
- פתרון המשוואה המתקבלת — פותרים את המשוואה ללא שברים.
- בדיקת הפתרונות — מוודאים שהפתרונות שייכים לתחום ההגדרה.
חשוב: פתרון שאינו בתחום ההגדרה נקרא פתרון זר ויש לפסול אותו.
1.3 פירוק לגורמים — נוסחאות שימושיות
$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$
$$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$$
$$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$$
2. דוגמה מפורטת — משוואה רציונלית
2.1 המשוואה
פתרו את המשוואה:
$$\frac{3}{3x-18} + \frac{13}{x+6} = 1 + \frac{13}{x^2-36}$$
2.2 שלב 1 — פירוק מכנים ומציאת תחום
נפרק את המכנים לגורמים:
- $3x - 18 = 3(x - 6)$
- $x + 6$ — כבר מפורק
- $x^2 - 36 = (x-6)(x+6)$ — הפרש ריבועים
תחום ההגדרה: $x \neq 6$ וגם $x \neq -6$
2.3 שלב 2 — מציאת מכנה משותף
המכנה המשותף הוא: $3(x-6)(x+6)$
נכפיל את כל צדדי המשוואה במכנה המשותף:
$$\frac{3}{3(x-6)} \cdot 3(x-6)(x+6) + \frac{13}{x+6} \cdot 3(x-6)(x+6) = 1 \cdot 3(x-6)(x+6) + \frac{13}{(x-6)(x+6)} \cdot 3(x-6)(x+6)$$
2.4 שלב 3 — צמצום ופישוט
$$1 \cdot (x+6) + 13 \cdot 3(x-6) = 3(x-6)(x+6) + 13 \cdot 3$$
נפתח סוגריים:
$$(x + 6) + (39x - 234) = 3(x^2 - 36) + 39$$
$$40x - 228 = 3x^2 - 108 + 39$$
$$40x - 228 = 3x^2 - 69$$
2.5 שלב 4 — סידור משוואה ריבועית
$$3x^2 - 40x - 69 + 228 = 0$$
$$3x^2 - 40x + 159 = 0$$
נחשב את הדיסקרימיננטה:
$$\Delta = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 159 = 1600 - 1908 = -308$$
מכיוון ש-$\Delta < 0$, אין פתרונות ממשיים למשוואה זו.
הערה: במקרה שהדיסקרימיננטה הייתה חיובית, היינו צריכים לבדוק שהפתרונות אינם $x = 6$ או $x = -6$.
3. דוגמה נוספת — משוואה רציונלית עם פתרון
3.1 המשוואה
$$\frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+1} = \frac{5x}{x^2-1}$$
3.2 פתרון
תחום: $x \neq 1$, $x \neq -1$ (כי $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$)
מכנה משותף: $(x-1)(x+1)$
נכפיל את כל האגפים:
$$2(x+1) + 3(x-1) = 5x$$
$$2x + 2 + 3x - 3 = 5x$$
$$5x - 1 = 5x$$
$$-1 = 0$$
זוהי סתירה — אין פתרון למשוואה.
4. משוואות שורשים (משוואות אירציונליות)
4.1 הגדרה
משוואה שבה המשתנה מופיע תחת שורש. לדוגמה:
$$\sqrt{f(x)} = g(x)$$
4.2 שלבי הפתרון
- בידוד השורש — מעבירים את השורש לצד אחד של המשוואה.
- העלאה בריבוע — מעלים את שני הצדדים בריבוע (לשורש ריבועי) או בחזקה מתאימה.
- פתרון המשוואה המתקבלת.
- בדיקת פתרונות — חובה! העלאה בריבוע עלולה ליצור פתרונות זרים.
4.3 תנאי הכרחי לשורש ריבועי
כדי ש-$\sqrt{f(x)}$ יהיה מוגדר (במספרים ממשיים), נדרש:
$$f(x) \geq 0$$
בנוסף, אם $\sqrt{f(x)} = g(x)$, נדרש גם:
$$g(x) \geq 0$$
5. דוגמה — משוואת שורש ריבועי
5.1 המשוואה
$$\sqrt{2x + 3} = x$$
5.2 פתרון
שלב 1 — תנאים:
- $2x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{3}{2}$
- $x \geq 0$ (כי אגף ימין חייב להיות אי-שלילי)
שלב 2 — העלאה בריבוע:
$$2x + 3 = x^2$$
$$x^2 - 2x - 3 = 0$$
שלב 3 — פתרון המשוואה הריבועית:
$$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$
$$x_1 = 3, \quad x_2 = -1$$
שלב 4 — בדיקה:
- $x_1 = 3$: $\sqrt{2 \cdot 3 + 3} = \sqrt{9} = 3 = x$ ✓
- $x_2 = -1$: לא מקיים את התנאי $x \geq 0$ — פתרון זר ✗
תשובה: $x = 3$
6. דוגמה — משוואת שורש שלישי
6.1 המשוואה
$$\sqrt[3]{2x - 1} = 3$$
6.2 פתרון
הערה: שורש שלישי מוגדר לכל מספר ממשי (גם שלילי), לכן אין הגבלות על תחום.
שלב 1 — העלאה בחזקת 3:
$$(\sqrt[3]{2x - 1})^3 = 3^3$$
$$2x - 1 = 27$$
שלב 2 — פתרון:
$$2x = 28$$
$$x = 14$$
שלב 3 — בדיקה:
$$\sqrt[3]{2 \cdot 14 - 1} = \sqrt[3]{27} = 3 \checkmark$$
תשובה: $x = 14$
7. דוגמה — משוואה עם שני שורשים
7.1 המשוואה
$$\sqrt{x + 5} - \sqrt{x} = 1$$
7.2 פתרון
תנאים: $x + 5 \geq 0$ ו-$x \geq 0$, כלומר $x \geq 0$.
שלב 1 — בידוד שורש אחד:
$$\sqrt{x+5} = 1 + \sqrt{x}$$
שלב 2 — העלאה בריבוע:
$$x + 5 = 1 + 2\sqrt{x} + x$$
$$4 = 2\sqrt{x}$$
$$2 = \sqrt{x}$$
שלב 3 — העלאה בריבוע שנית:
$$x = 4$$
שלב 4 — בדיקה:
$$\sqrt{4 + 5} - \sqrt{4} = \sqrt{9} - 2 = 3 - 2 = 1 \checkmark$$
תשובה: $x = 4$
8. תרגילים לתרגול
תרגיל 1
פתרו:
$$\frac{5}{x+2} - \frac{3}{x-2} = \frac{4}{x^2-4}$$
תרגיל 2
פתרו:
$$\sqrt{3x+1} = x - 1$$
תרגיל 3
פתרו:
$$\sqrt[3]{x+7} + \sqrt[3]{x-7} = \sqrt[3]{2x}$$
תרגיל 4
פתרו:
$$\frac{x}{x-3} + \frac{2}{x+3} = \frac{18}{x^2-9}$$
9. סיכום — טעויות נפוצות
| טעות | הסבר | ||
|---|---|---|---|
| שכחת בדיקת תחום | פתרון שמאפס מכנה הוא פתרון זר | ||
| אי-בדיקה לאחר העלאה בריבוע | העלאה בריבוע עלולה להוסיף פתרונות זרים | ||
| $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ | השורש אינו מתפרק על סכום | ||
| $\sqrt{x^2} = x$ | לא תמיד — $\sqrt{x^2} = | x | $ |