נושא 3: משוואות מעריכיות ולוגריתמיות
מתמטיקה למנהל עסקים | המרכז האקדמי פרס
1. פונקציה מעריכית — רקע
1.1 הגדרה
פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה:
$$f(x) = a^x, \quad a > 0, \quad a \neq 1$$
1.2 תכונות חשובות
- $a^0 = 1$ לכל $a \neq 0$
- $a^1 = a$
- $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
- $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$
- $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
- $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
- $(ab)^n = a^n \cdot b^n$
- $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$
1.3 חזקות עם בסיסים מיוחדים
$$a^{1/2} = \sqrt{a}, \quad a^{1/n} = \sqrt[n]{a}, \quad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$$
2. משוואות מעריכיות — שיטות פתרון
2.1 שיטה 1: השוואת בסיסים
אם $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ (ו-$a > 0, a \neq 1$), אז:
$$f(x) = g(x)$$
עקרון: מביאים את שני הצדדים לאותו בסיס ומשווים מעריכים.
2.2 שיטה 2: שימוש בלוגריתמים
כאשר לא ניתן להביא לאותו בסיס, מפעילים לוגריתם על שני הצדדים:
$$a^{f(x)} = b \implies f(x) = \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$$
3. דוגמה 1 — השוואת בסיסים
3.1 המשוואה
$$4^{x+1} = 8^{2x-3}$$
3.2 פתרון
שלב 1 — המרה לבסיס משותף (בסיס 2):
$$4 = 2^2, \quad 8 = 2^3$$
$$(2^2)^{x+1} = (2^3)^{2x-3}$$
$$2^{2(x+1)} = 2^{3(2x-3)}$$
שלב 2 — השוואת מעריכים:
$$2(x+1) = 3(2x-3)$$
$$2x + 2 = 6x - 9$$
$$11 = 4x$$
$$x = \frac{11}{4}$$
בדיקה:
- אגף שמאל: $4^{11/4 + 1} = 4^{15/4} = 2^{15/2}$
- אגף ימין: $8^{11/2 - 3} = 8^{5/2} = 2^{15/2}$ ✓
4. דוגמה 2 — משוואה עם בסיסים שונים
4.1 המשוואה
$$\left(\frac{1}{4}\right)^x \cdot 32^{x-1} = 16$$
4.2 פתרון
שלב 1 — המרה לבסיס 2:
$$\frac{1}{4} = 2^{-2}, \quad 32 = 2^5, \quad 16 = 2^4$$
$$(2^{-2})^x \cdot (2^5)^{x-1} = 2^4$$
$$2^{-2x} \cdot 2^{5(x-1)} = 2^4$$
שלב 2 — חיבור מעריכים (כפל = חיבור מעריכים):
$$2^{-2x + 5x - 5} = 2^4$$
$$2^{3x - 5} = 2^4$$
שלב 3 — השוואת מעריכים:
$$3x - 5 = 4$$
$$3x = 9$$
$$x = 3$$
בדיקה:
$$\left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot 32^{2} = \frac{1}{64} \cdot 1024 = 16 \checkmark$$
5. דוגמה 3 — משוואה מעריכית עם הצבה
5.1 המשוואה
$$4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0$$
5.2 פתרון
שלב 1 — הצבה: נסמן $t = 2^x$ (כך ש-$t > 0$).
שימו לב: $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2$
$$t^2 - 3t - 4 = 0$$
שלב 2 — פתרון המשוואה הריבועית:
$$(t - 4)(t + 1) = 0$$
$$t = 4 \quad \text{או} \quad t = -1$$
שלב 3 — חזרה למשתנה המקורי:
- $t = 4$: $2^x = 4 = 2^2 \Rightarrow x = 2$
- $t = -1$: $2^x = -1$ — אין פתרון (כי $2^x > 0$ לכל $x$)
תשובה: $x = 2$
6. לוגריתמים — הגדרה ותכונות
6.1 הגדרה
$$\log_a b = c \iff a^c = b$$
כאשר $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$.
במילים: הלוגריתם בבסיס $a$ של $b$ הוא המעריך שאליו יש להעלות את $a$ כדי לקבל $b$.
6.2 סימנים מקובלים
| סימן | משמעות |
|---|---|
| $\log x$ | לוגריתם בבסיס 10 (לוגריתם עשרוני) |
| $\ln x$ | לוגריתם טבעי (בבסיס $e \approx 2.718$) |
| $\log_a x$ | לוגריתם בבסיס $a$ |
6.3 תכונות הלוגריתם
$$\log_a 1 = 0$$
$$\log_a a = 1$$
$$\log_a(m \cdot n) = \log_a m + \log_a n$$
$$\log_a\left(\frac{m}{n}\right) = \log_a m - \log_a n$$
$$\log_a(m^n) = n \cdot \log_a m$$
$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} = \frac{\ln b}{\ln a} \quad \text{(נוסחת המרת בסיס)}$$
$$a^{\log_a b} = b$$
$$\log_a\left(\frac{1}{b}\right) = -\log_a b$$
6.4 תכונות נוספות
$$\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$$
$$\log_a b \cdot \log_b a = 1$$
7. המרה בין צורה מעריכית ללוגריתמית
הצורה המעריכית והלוגריתמית הן שתי דרכים לבטא אותו קשר:
| צורה מעריכית | צורה לוגריתמית |
|---|---|
| $2^3 = 8$ | $\log_2 8 = 3$ |
| $10^2 = 100$ | $\log_{10} 100 = 2$ |
| $5^{-1} = 0.2$ | $\log_5 0.2 = -1$ |
| $e^0 = 1$ | $\ln 1 = 0$ |
| $3^x = 7$ | $x = \log_3 7$ |
8. משוואות לוגריתמיות
8.1 עקרונות פתרון
- בדיקת תחום: הארגומנט של לוגריתם חייב להיות חיובי ממש.
- שימוש בתכונות כדי לאחד או לפשט לוגריתמים.
- המרה לצורה מעריכית כשצריך.
- בדיקת פתרונות — חובה לוודא שהפתרון בתחום.
9. דוגמה 4 — משוואה לוגריתמית בסיסית
9.1 המשוואה
$$\log_2(3x - 1) = 4$$
9.2 פתרון
שלב 1 — המרה לצורה מעריכית:
$$3x - 1 = 2^4 = 16$$
שלב 2 — פתרון:
$$3x = 17$$
$$x = \frac{17}{3}$$
שלב 3 — בדיקת תחום:
$$3 \cdot \frac{17}{3} - 1 = 17 - 1 = 16 > 0 \checkmark$$
תשובה: $x = \frac{17}{3}$
10. דוגמה 5 — שימוש בתכונות לוגריתם
10.1 המשוואה
$$\log(x+3) + \log(x-2) = \log 14$$
10.2 פתרון
תחום: $x + 3 > 0$ ו-$x - 2 > 0$, כלומר $x > 2$.
שלב 1 — שימוש בתכונת המכפלה:
$$\log[(x+3)(x-2)] = \log 14$$
שלב 2 — השוואת ארגומנטים:
$$(x+3)(x-2) = 14$$
$$x^2 + x - 6 = 14$$
$$x^2 + x - 20 = 0$$
שלב 3 — פתרון:
$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2} = \frac{-1 \pm 9}{2}$$
$$x_1 = 4, \quad x_2 = -5$$
שלב 4 — בדיקת תחום:
- $x_1 = 4$: $4 > 2$ ✓
- $x_2 = -5$: $-5 \not> 2$ ✗ — פתרון זר
תשובה: $x = 4$
11. דוגמה 6 — משוואה לוגריתמית עם המרת בסיס
11.1 המשוואה
$$\log_4 x + \log_2 x = 6$$
11.2 פתרון
תחום: $x > 0$
שלב 1 — המרת בסיס: נשתמש בנוסחה $\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$
נסמן $t = \log_2 x$:
$$\frac{t}{2} + t = 6$$
$$\frac{3t}{2} = 6$$
$$t = 4$$
שלב 2 — חזרה למשתנה:
$$\log_2 x = 4 \implies x = 2^4 = 16$$
בדיקה:
$$\log_4 16 + \log_2 16 = 2 + 4 = 6 \checkmark$$
תשובה: $x = 16$
12. דוגמה 7 — משוואה מעריכית עם לוגריתמים
12.1 המשוואה
$$3^{2x+1} = 5^{x-2}$$
12.2 פתרון
אין בסיס משותף — נפעיל $\ln$ על שני האגפים:
$$\ln(3^{2x+1}) = \ln(5^{x-2})$$
$$(2x+1)\ln 3 = (x-2)\ln 5$$
$$2x\ln 3 + \ln 3 = x\ln 5 - 2\ln 5$$
$$2x\ln 3 - x\ln 5 = -2\ln 5 - \ln 3$$
$$x(2\ln 3 - \ln 5) = -(2\ln 5 + \ln 3)$$
$$x = \frac{-(2\ln 5 + \ln 3)}{2\ln 3 - \ln 5}$$
חישוב מספרי (עם $\ln 3 \approx 1.0986$, $\ln 5 \approx 1.6094$):
$$x = \frac{-(3.2189 + 1.0986)}{2.1972 - 1.6094} = \frac{-4.3175}{0.5878} \approx -7.346$$
13. תרגילים לתרגול
תרגיל 1
פתרו:
$$9^x = 27^{x-1}$$
תרגיל 2
פתרו:
$$2^{2x} - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$$
תרגיל 3
פתרו:
$$\log_3(x^2 - 4x) = 1$$
תרגיל 4
פתרו:
$$\log_5(x+1) - \log_5(x-3) = 1$$
תרגיל 5
פתרו:
$$\ln(2x+1) = 3$$
רמז: $x = \frac{e^3 - 1}{2}$
14. סיכום — נוסחאות מרכזיות
חוקי חזקות
$$a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a^m)^n = a^{mn}$$
חוקי לוגריתמים
$$\log_a(mn) = \log_a m + \log_a n$$
$$\log_a\left(\frac{m}{n}\right) = \log_a m - \log_a n$$
$$\log_a(m^n) = n\log_a m$$
$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$
המרה
$$\log_a b = c \iff a^c = b$$